Quantitative Aptitude (30 Marks) Complete Syllabus Notes

1. સંખ્યા પદ્ધતિ (Number System)

પ્રાકૃતિક (N), પૂર્ણ (W), પૂર્ણાંક (Z), સંમેય (Q), અસંમેય અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (R).

⚡ વિભાજ્યતાની ચાવીઓ (Divisibility Tests)

• 3 ની ચાવી: અંકોનો સરવાળો 3 વડે ભાગી શકાય.
• 4 ની ચાવી: છેલ્લા 2 અંકો 4 વડે ભગાય (અથવા અંતે 00 હોય).
• 8 ની ચાવી: છેલ્લા 3 અંકો 8 વડે ભગાય.
• 9 ની ચાવી: અંકોનો સરવાળો 9 વડે ભગાય.
• 11 ની ચાવી: |(એકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો) - (બેકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો)| = 0 અથવા 11 નો ગુણક.

પેટા પ્રકાર ૧: 11 ની વિભાજ્યતા ચાવી

💡 ઉદાહરણ ૧: અજ્ઞાત અંક શોધવો

દાખલો જો સંખ્યા 5432*7 એ 9 વડે પૂર્ણ વિભાજ્ય હોય, તો તારા (*) ના સ્થાને કયો અંક આવશે?

ગણતરી (Step-by-Step):
• 9 ની વિભાજ્યતા ચાવી: તમામ અંકોનો સરવાળો 9 વડે ભગાવો જોઈએ.
• અંકોનો સરવાળો = 5 + 4 + 3 + 2 + * + 7 = 21 + *.
• 21 પછી 9 નો નજીકનો ગુણક 27 છે.
• આથી * = 27 - 21 = 6.

સાચો જવાબ: * = 6

પેટા પ્રકાર ૨: એકમનો અંક શોધવો (Unit Digit of Powers)

💡 ઉદાહરણ ૨: ઘાતાંકનો એકમનો અંક

દાખલો (7)¹⁰⁵ માં એકમનો અંક શું હશે?

ગણતરી (Cyclicity Rule of 4):
• 7 ની સાયકલ: 7¹=7, 7²=9, 7³=3, 7⁴=1 (દર 4 ઘાતે એકમનો અંક પુનરાવર્તિત થાય છે).
• ઘાત 105 ને 4 વડે ભાગતાં: 105 ÷ 4 = શેષ 1 વધે છે.
• આથી એકમનો અંક = 7¹ = 7.

સાચો જવાબ: 7

2. લ.સા.અ. અને ગુ.સા.અ. (LCM and HCF)

⚡ મૂળભૂત સંબંધ અને અપૂર્ણાંકનો નિયમ

બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર = લ.સા.અ. × ગુ.સા.અ. ⇒ a × b = LCM × HCF
અપૂર્ણાંકનો LCM: અંશનો LCM / છેદનો HCF
અપૂર્ણાંકનો HCF: અંશનો HCF / છેદનો LCM

પેટા પ્રકાર ૧: બે સંખ્યાઓનો સંબંધ

💡 ઉદાહરણ ૧: અજ્ઞાત સંખ્યા શોધવી

દાખલો બે સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. 12 અને લ.સા.અ. 72 છે. જો તે પૈકીની એક સંખ્યા 24 હોય, તો બીજી સંખ્યા કઈ?

ગણતરી:
• a × b = LCM × HCF
• 24 × b = 72 × 12 ⇒ b = (72 × 12) / 24 = 3 × 12 = 36.

સાચો જવાબ: 36

પેટા પ્રકાર ૨: ઘંટ એકસાથે વાગવાનો દાખલો

💡 ઉદાહરણ ૨: એકસાથે થતી ઘટના

દાખલો ચાર ઘંટ અનુક્રમે 6, 8, 12 અને 18 સેકન્ડના અંતરે વાગે છે. જો તેઓ સવારે 9:00 વાગ્યે એકસાથે વાગ્યા હોય, તો ફરીથી ક્યારે એકસાથે વાગશે?

ગણતરી:
• 6, 8, 12, 18 નો લ.સા.અ. (LCM) લેવો પડે.
• LCM(6, 8, 12, 18) = 72 સેકન્ડ = 1 મિનિટ અને 12 સેકન્ડ.
• ફરીથી એકસાથે વાગવાનો સમય = 9 કલાક 1 મિનિટ અને 12 સેકન્ડે.

સાચો જવાબ: 9:01:12 AM

3. ટકાવારી અને ભાગીદારી (Percentage and Partnership)

⚡ ટકાવારી શોર્ટકટ્સ અને ભાગીદારી નફા વહેંચણી

• 1/2 = 50% | 1/3 = 33.33% | 1/4 = 25% | 1/5 = 20% | 1/6 = 16.67% | 1/8 = 12.5%.
• ક્રમિક ટકાવારી ફેરફાર: Net% = A + B + (A × B / 100)
• ભાગીદારીમાં નફાનો ગુણોત્તર = (મૂડી_A × સમય_A) : (મૂડી_B × સમય_B)

પેટા પ્રકાર ૧: લંબચોરસ ક્ષેત્રફળમાં ક્રમિક ટકાવારી

💡 ઉદાહરણ ૧: લંબાઈ-પહોળાઈમાં ટકાવારી ફેરફાર

દાખલો એક લંબચોરસની લંબાઈમાં 20% નો વધારો અને પહોળાઈમાં 10% નો ઘટાડો કરવામાં આવે, તો તેના ક્ષેત્રફળમાં કેટલા ટકા ફેરફાર થાય?

ગણતરી (A + B + AB/100 શોર્ટકટ):
• A = +20% અને B = -10%.
• Net% = 20 - 10 + [20 × (-10) / 100] = 10 - 2 = +8%.
• ધન ચિહ્ન દર્શાવે છે કે ક્ષેત્રફળમાં 8% નો વધારો થશે.

સાચો જવાબ: 8% નો વધારો

પેટા પ્રકાર ૨: ભાગીદારી નફો

💡 ઉદાહરણ ૨: મૂડી અને સમય અનુસાર નફો

દાખલો A એ રૂ. 20,000 રોકી ધંધો શરૂ કર્યો. 3 મહિના પછી B રૂ. 30,000 રોકીને જોડાયો. વર્ષના અંતે રૂ. 26,000 નો નફો થાય, તો B નો હિસ્સો કેટલો?

ગણતરી:
• A નો સમય = 12 મહિના; B નો સમય = 12 - 3 = 9 મહિના.
• નફાનો ગુણોત્તર = (20,000 × 12) : (30,000 × 9) = 240 : 270 = 8 : 9.
• કુલ ભાગ = 8 + 9 = 17 ભાગ.
• B નો નફો = (9 / 17) × 26,000 (નોંધ: જો નફો રૂ. 34,000 હોય તો: 9 × 2,000 = 18,000).
• અહી (9 / 17) × 26,000 = રૂ. 13,764.70 (રૂ. 34,000 નફા પર = રૂ. 18,000).

સાચો જવાબ: ગુણોત્તર 8 : 9 મુજબ વહેંચણી

4. નફો-ખોટ અને વળતર (Profit, Loss and Discount)

⚡ નફો-ખોટ સૂત્રો

• નફો% = (નફો / મૂળકિંમત) × 100 | ખોટ% = (ખોટ / મૂળકિંમત) × 100.
• વળતર (Discount) હંમેશાં છાપેલી કિંમત (MP) પર ગણાય.
• સમતુલ્ય વળતર: d = d1 + d2 - (d1 × d2 / 100)%.

પેટા પ્રકાર ૧: બે ક્રમિક વળતર (Successive Discounts)

💡 ઉદાહરણ ૧: સમતુલ્ય એકલ વટાવ

દાખલો 20% અને 10% ના બે ક્રમિક વળતર આપતાં સમતુલ્ય એકલ વળતર કેટલા ટકા થાય?

ગણતરી:
• શોર્ટકટ: d1 + d2 - (d1 × d2 / 100) = 20 + 10 - (20 × 10 / 100) = 30 - 2 = 28%.

સાચો જવાબ: 28%

પેટા પ્રકાર ૨: ખોટા વજનનો ઉપયોગ (Dishonest Dealer)

💡 ઉદાહરણ ૨: છેતરપિંડી કરતો વેપારી

દાખલો એક વેપારી વસ્તુ મૂળકિંમતે વેચવાનો દાવો કરે છે, પરંતુ 1 કિગ્રા (1000 ગ્રામ) ના બદલે 800 ગ્રામ વજનિયું વાપરે છે. તો તેનો વાસ્તવિક નફો કેટલા ટકા?

ગણતરી:
• નફો = ત્રુટિ = 1000 - 800 = 200 ગ્રામ.
• વેપારીનો વાસ્તવિક ખર્ચ = 800 ગ્રામ.
• નફો% = (ત્રુટિ / આપેલું વજન) × 100 = (200 / 800) × 100 = (1 / 4) × 100 = 25%.

સાચો જવાબ: 25% નફો

5. સાદુ અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ (Simple and Compound Interest)

⚡ વ્યાજ અને તફાવતના સુવર્ણ સૂત્રો

• સાદુ વ્યાજ (SI) = (P × R × N) / 100
• ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમુદલ (A) = P × (1 + R/100)^N
• ૨ વર્ષ માટે CI અને SI નો તફાવત: Diff = P × (R / 100)²
• ૩ વર્ષ માટે તફાવત: Diff = P × (R/100)² × (3 + R/100)

પેટા પ્રકાર: ૨ વર્ષના CI અને SI નો તફાવત

💡 ઉદાહરણ ૧: તફાવત પરથી મુદલ શોધવી

દાખલો 10% વાર્ષિક વ્યાજના દરે 2 વર્ષ માટે કોઈ રકમના ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને સાદા વ્યાજનો તફાવત રૂ. 65 છે, તો તે રકમ (મુદલ P) શોધો.

ગણતરી:
• Diff = P × (R / 100)²
• 65 = P × (10 / 100)² ⇒ 65 = P × (1 / 100)
• P = 65 × 100 = રૂ. 6,500.

સાચો જવાબ: રૂ. 6,500

6. ગુણોત્તર અને પ્રમાણ (Ratio and Proportion)

⚡ પ્રમાણપદ સૂત્રો

• મધ્યમ પ્રમાણપદ (Mean Proportional of a, b) = √(a × b)
• તૃતીય પ્રમાણપદ (Third Proportional) = b² / a
• ચતુર્થ પ્રમાણપદ (Fourth Proportional of a, b, c) = (b × c) / a

પેટા પ્રકાર: સિક્કાઓની સંખ્યા આધારિત ગુણોત્તર

💡 ઉદાહરણ ૧: પાકીટમાં સિક્કાઓની ગણતરી

દાખલો એક થેલીમાં રૂ. 1, 50 પૈસા અને 25 પૈસાના સિક્કાઓ 5 : 6 : 8 ના ગુણોત્તરમાં છે. જો થેલીમાં કુલ રકમ રૂ. 210 હોય, તો 50 પૈસાના સિક્કાઓની સંખ્યા કેટલી?

ગણતરી:
• સિક્કાની સંખ્યા: રૂ. 1 = 5x, 50 પૈસા = 6x, 25 પૈસા = 8x.
• રૂપિયામાં મૂલ્ય: (5x × 1) + (6x × 0.50) + (8x × 0.25) = 210
• 5x + 3x + 2x = 210 ⇒ 10x = 210 ⇒ x = 21.
• 50 પૈસાના સિક્કા = 6x = 6 × 21 = 126 સિક્કા.

સાચો જવાબ: 126 સિક્કા

7. સમય અને કાર્ય, વેતન અને સાંકળનો નિયમ (Time & Work, Chain Rule)

⚡ સાંકળનો નિયમ (M-D-H Rule) & કાર્યક્ષમતા

(M1 × D1 × H1) / W1 = (M2 × D2 × H2) / W2
• A એકલો x દિવસમાં અને B y દિવસમાં કામ કરે તો બંને ભેગા મળીને (x × y) / (x + y) દિવસમાં કામ પૂરું કરે.

પેટા પ્રકાર ૧: ભેગા મળીને કાર્ય (LCM કાર્યક્ષમતા પદ્ધતિ)

💡 ઉદાહરણ ૧: કાર્યક્ષમતા આધારિત કામ

દાખલો A એક કામ 12 દિવસમાં અને B તે જ કામ 24 દિવસમાં પૂરું કરે છે. બંને ભેગા મળીને આ કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું કરશે?

ગણતરી:
• કુલ કામ (12 અને 24 નો LCM) = 24 યુનિટ.
• A ની રોજની ક્ષમતા = 24 / 12 = 2 યુનિટ/દિવસ.
• B ની રોજની ક્ષમતા = 24 / 24 = 1 યુનિટ/દિવસ.
• બંનેની કુલ ક્ષમતા = 2 + 1 = 3 યુનિટ/દિવસ.
• કુલ દિવસ = 24 / 3 = 8 દિવસ.

સાચો જવાબ: 8 દિવસ

પેટા પ્રકાર ૨: સાંકળનો નિયમ (M-D-H Rule)

💡 ઉદાહરણ ૨: માણસો અને દિવસો

દાખલો 15 માણસો રોજ 8 કલાક કામ કરીને એક કામ 20 દિવસમાં પૂરું કરે છે, તો 20 માણસો રોજ 6 કલાક કામ કરીને તે જ કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું કરશે?

ગણતરી:
• M1 × D1 × H1 = M2 × D2 × H2
• 15 × 20 × 8 = 20 × D2 × 6
• D2 = (15 × 20 × 8) / (20 × 6) = (15 × 8) / 6 = 120 / 6 = 20 દિવસ.

સાચો જવાબ: 20 દિવસ

8. સમય, ઝડપ અને અંતર (Time, Speed and Distance & Trains)

⚡ ઝડપ રૂપાંતરણ અને ટ્રેન નિયમો

• km/h → m/s: × 5/18 | m/s → km/h: × 18/5
• સરેરાશ ઝડપ (સમાન અંતર માટે): 2xy / (x + y)
• સાપેક્ષ ઝડપ: વિરુદ્ધ દિશામાં (S1 + S2) | એક જ દિશામાં |S1 - S2|

પેટા પ્રકાર: ટ્રેન પ્લેટફોર્મ ઓળંગવાનો દાખલો

💡 ઉદાહરણ ૧: ટ્રેન અને પ્લેટફોર્મ લંબાઈ

દાખલો 72 કિમી/કલાકની ઝડપે દોડતી 200 મીટર લાંબી ટ્રેન 300 મીટર લાંબા પ્લેટફોર્મને કેટલા સમયમાં ઓળંગશે?

ગણતરી:
1. ઝડપને m/s માં ફેરવતાં: 72 × (5 / 18) = 4 × 5 = 20 m/s.
2. કાપવાનું કુલ અંતર = ટ્રેનની લંબાઈ + પ્લેટફોર્મની લંબાઈ = 200 + 300 = 500 મીટર.
3. સમય = અંતર / ઝડપ = 500 / 20 = 25 સેકન્ડ.

સાચો જવાબ: 25 સેકન્ડ

9. મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક (Mean, Mode and Median)

⚡ કાલ્પનિક પ્રાયોગિક સંબંધ (Karl Pearson Formula)

બહુલક = ૩ × મધ્યસ્થ - ૨ × મધ્યક (Mode = 3 Median - 2 Mean)
• મધ્યક (x̄) = Σx / N
• મધ્યસ્થ (M) = ચડતા ક્રમમાં ગોઠવ્યા પછીની મધ્ય કિંમત.

પેટા પ્રકાર: બહુલક સંબંધ સૂત્ર

💡 ઉદાહરણ ૧: મધ્યસ્થ અને મધ્યક પરથી બહુલક

દાખલો કોઈ આવૃત્તિ વિતરણ માટે મધ્યક 25 અને મધ્યસ્થ 28 હોય, તો બહુલક કેટલો થશે?

ગણતરી:
• Mode = 3 × Median - 2 × Mean
• Mode = 3 × 28 - 2 × 25 = 84 - 50 = 34.

સાચો જવાબ: 34

10. કૌંસ અને વિસ્તરણ (Brackets & Expansions)

⚡ બીજગણિતીય વિસ્તરણ સૂત્રો

• a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
• જો a + b + c = 0 હોય, તો a³ + b³ + c³ = 3abc થાય.

પેટા પ્રકાર: a+b+c=0 આધારિત પ્રશ્ન

💡 ઉદાહરણ ૧: ઘન વિસ્તરણ શોર્ટકટ

દાખલો (28)³ + (-15)³ + (-13)³ ની કિંમત સીધી ગણતરી વગર શોધો.

ગણતરી:
• અહી a = 28, b = -15, c = -13.
• a + b + c = 28 - 15 - 13 = 0.
• જો a + b + c = 0 હોય, તો a³ + b³ + c³ = 3abc.
• કિંમત = 3 × (28) × (-15) × (-13) = 3 × 28 × 195 = 84 × 195 = 16,380.

સાચો જવાબ: 16,380

11. વર્ગ-વર્ગમૂળ, ઘન-ઘનમૂળ, ઘાત અને ઘાતાંક (Powers, Roots & Exponents)

⚡ ઘાતાંકના નિયમો

a^m × aⁿ = a^m+n | a^m / aⁿ = a^m-n | (a^m)ⁿ = a^m×n | a⁰ = 1 | a^-n = 1/aⁿ.

પેટા પ્રકાર: ઘાતાંકીય સમીકરણ ઉકેલવું

💡 ઉદાહરણ ૧: ઘાતાંકમાંથી x ની કિંમત

દાખલો જો 2^x-1 + 2^x+1 = 320 હોય, તો x ની કિંમત શોધો.

ગણતરી:
• 2^x · 2^-1 + 2^x · 2¹ = 320
• 2^x [ (1/2) + 2 ] = 320 ⇒ 2^x × (5/2) = 320
• 2^x = (320 × 2) / 5 = 64 × 2 = 128.
• 128 = 2⁷ ⇒ x = 7.

સાચો જવાબ: x = 7

12. બહુપદીઓ અને અવયવીકરણ (Polynomials & Factoring)

શેષ પ્રમેય (Remainder Theorem): જો બહુપદી P(x) ને (x - a) વડે ભાગવામાં આવે તો શેષ P(a) મળે છે.

પેટા પ્રકાર: શેષ પ્રમેય

💡 ઉદાહરણ ૧: બહુપદીની શેષ શોધવી

દાખલો જો P(x) = x³ - 3x² + 4x - 5 ને (x - 2) વડે ભાગવામાં આવે તો શેષ કેટલી વધે?

ગણતરી:
• ભાજક x - 2 = 0 ⇒ x = 2.
• શેષ = P(2) = (2)³ - 3(2)² + 4(2) - 5 = 8 - 3(4) + 8 - 5 = 8 - 12 + 8 - 5 = 16 - 17 = -1.

સાચો જવાબ: શેષ = -1

13. દ્વિચલ સુરેખ અને દ્વિઘાત સમીકરણ (Linear & Quadratic Equations)

⚡ દ્વિઘાત સમીકરણ વિવેચક (Discriminant D = b² - 4ac)

ax² + bx + c = 0 ના બીજ: x = [-b ± √D] / 2a
• D > 0: બે ભિન્ન અને વાસ્તવિક બીજ | D = 0: બે સમાન વાસ્તવિક બીજ | D < 0: વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
• બીજનો સરવાળો α + β = -b / a | બીજનો ગુણાકાર αβ = c / a.

પેટા પ્રકાર: બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર

💡 ઉદાહરણ ૧: બીજ સંબંધ

દાખલો દ્વિઘાત સમીકરણ 2x² - 7x + 5 = 0 ના બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર શોધો.

ગણતરી:
• અહી a = 2, b = -7, c = 5.
• બીજનો સરવાળો (α + β) = -b / a = -(-7) / 2 = 7/2.
• બીજનો ગુણાકાર (αβ) = c / a = 5/2.

સાચો જવાબ: સરવાળો = 7/2, ગુણાકાર = 5/2

14. ક્ષેત્રફળ, પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ (Area, Surface Area & Volume)

આકાર (Shape)	ક્ષેત્રફળ / વક્રસપાટીનું પૃષ્ઠફળ	કુલ પૃષ્ઠફળ / ઘનફળ
વર્તુળ (Circle)	પરિઘ = `2πr`	ક્ષેત્રફળ = `πr²`
નળાકાર (Cylinder)	વક્રસપાટી = `2πrh`	કુલ સપાટી = `2πr(r + h)` \| ઘનફળ = `πr²h`
શંકુ (Cone)	વક્રસપાટી = `πrl` (l = √(r² + h²))	કુલ સપાટી = `πr(r + l)` \| ઘનફળ = `(1/3)πr²h`
ગોલક (Sphere)	પૃષ્ઠફળ = `4πr²`	ઘનફળ = `(4/3)πr³`

પેટા પ્રકાર: ધાતુ પીગળાવીને નવો આકાર બનાવવો

💡 ઉદાહરણ ૧: ઘનફળ અચળ રહેવાનો નિયમ

દાખલો 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ધાતુના ગોલકને પીગળાવીને 2 સેમી ત્રિજ્યાવાળી કેટલી નાની ગોળીઓ બનાવી શકાય?

ગણતરી:
• ગોળીઓની સંખ્યા = મોટા ગોલકનું ઘનફળ / એક નાની ગોળીનું ઘનફળ.
• N = [(4/3)π R³] / [(4/3)π r³] = R³ / r³ = (6 / 2)³ = (3)³ = 27.

સાચો જવાબ: 27 ગોળીઓ

15. યામભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિ (Coordinate Geometry & Trigonometry)

⚡ યામભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિના મુખ્ય સૂત્રો

• અંતર સૂત્ર (Distance Formula): d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
• નિત્યસમો: sin²θ + cos²θ = 1 | 1 + tan²θ = sec²θ | 1 + cot²θ = cosec²θ
• માન: tan 45° = 1, sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2.

પેટા પ્રકાર: અંતર અને ઊંચાઈ (Heights & Distances)

💡 ઉદાહરણ ૧: ઉત્સેધકોણ આધારિત પ્રશ્ન

દાખલો એક ટાવરના તળિયેથી 30 મીટર દૂર આવેલા બિંદુથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 30° છે, તો ટાવરની ઊંચાઈ કેટલી હશે?

ગણતરી:
• tan θ = સામેની બાજુ (ઊંચાઈ h) / પાસેની બાજુ (અંતર 30 મીટર)
• tan 30° = h / 30 ⇒ (1 / √3) = h / 30
• h = 30 / √3 = (30 × √3) / 3 = 10√3 મીટર (આશરે 17.32 મીટર).

સાચો જવાબ: 10√3 મીટર

🎯 CCE Quant Speed Tip (30 Marks)

ગાણિતિક ક્ષમતામાં ટકાવારી-અપૂર્ણાંક કોષ્ટક, 1 થી 30 ના વર્ગો, 1 થી 15 ના ઘન અને 2-વર્ષના વ્યાજ તફાવતના શોર્ટકટ યાદ રાખવાથી સમયમાં ૫૦% નો બચાવ થાય છે.

⚡ Mathematical Foundation & Exam Approach

📌 All 15 Quantitative Topics Quick Jump